（本题满分12分）已知展开式的二项式系数和为512，
且
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）求被6整除的余数.
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（本题满分13分）
已知二项式的展开式中，
（Ⅰ）求展开式中含项的系数；
（Ⅱ）如果第项和第项的二项式系数相等，试求的值。

(本题满分13分)在展开式中，求：
（1）第6项；  （2） 第3项的系数；  （3）常数项。

证明：。

在用0，1，2，3，4组成的没有重复数字的五位数中，
（1）偶数有多少个；
（2）个位上的数比十位上的数大的数有多少个；
（3）数字1和2相邻，且3和4不相邻的数有多少个．

（本小题满分12分）有4名老师和4名学生站成一排照相。
（I）4名学生必须排在一起，共有多少种不同的排法？
（II）任两名学生都不能相邻，共有多少种不同的排法？
（III）老师和学生相间排列，共有多少种不同的排法？（要求用数字作答）

（8分）某医院有内科医生12名，外科医生8名，现要派5名医生参加赈灾医疗队，则：
(1)某内科医生必须参加，某外科医生不能参加，有多少种选法？
(2)至少有一名内科医生且至少有一名外科医生参加有几种选法？

在二项式的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列
（1）求展开式的第四项；
（2）求展开式的常数项；
（3）求展开式中各项的系数和．

已知是否存在自然数，使对任意，都有整除？如果存在，求出的最大值，并证明；若不存在，说明理由．

已知的展开式记为，的展开式记为．已知的奇数项的二项式系数的和比的偶数项的二项式系数的和大496．
（1）求中二项式系数最大的项；
（2）求中的有理项；
（3）确定实数的值，使与中有相同的项，并求出相同的项．