已知点A，B分别是直线y＝x和y＝－x的动点(A，B在y轴的同侧)，且△OAB的面积为，点P满足．

(1)试求点P的轨迹C的方程；

(2)已知F，过O作直线l交轨迹C于两点M，N，若，试求△MFN的面积．

(3)理：已知F，矩形MFNE的两个顶点M，N均在曲线C上，试求矩形MFNE面积的最小值．

已知动点P到直线的距离是到定点()的距离的倍．

(Ⅰ)求动点P的轨迹方程；

(Ⅱ)如果直线l∶y＝k(x＋1)(k≠0)与P点的轨迹有两个交点A、B，求弦AB的垂直平分线在y轴上的截距y₀的取值范围．

小明一家三口都会下棋．在假期里的每一天，父母都交替与小明下三盘棋，已知

(1)小明胜父亲的概率是，胜母亲的概率是．如果小明与父亲先下，求小明恰胜一盘的概率；

(2)父母与小明约定，只要他在三盘中能至少连胜两盘，就给他奖品，那么小明为了获胜希望更大，他应该先与父亲下，还是先与母亲下？请用计算说明理由．

文：某自助银行共有4台ATM机，在某一时刻A、B、C、D四台ATM机被占用的概率分别为、、、．

(Ⅰ)如果某客户只能使用A或B型号的ATM机，求该客户需要等待的概率；

(Ⅱ)求至多有三台ATM机被占用的概率；

(Ⅲ)求恰有两台ATM机被占用的概率．

理：某自助银行共有4台ATM机，在某一时刻A、B、C、D四台ATM机被占用的概率分别为、、、，设某一时刻这家自助银行被占用的ATM机的台数为ξ

(Ⅰ)如果某客户只能使用A或B型号的ATM机，求该客户需要等待的概率；

(Ⅱ)求至多有三台ATM机被占用的概率；

(Ⅲ)求ξ的分布列和数学期望．

如图，二面角P－CB－A为直二面角，∠PCB＝90°，∠ACB＝90°，PM∥BC，直线AM与直线PC所成的角为60°，又AC＝1，BC＝2，PM＝1．

(Ⅰ)求证：AC⊥BM；

(Ⅱ)求二面角M－AB－C的正切值；

(Ⅲ)求点P到平面ABM的距离．

无穷数列{a_n}满足：(λ≥0为常数)．

(1)若a₁＝1且数列{na_n}为等比数列，求λ；

(2)已知a₁＝1，λ＝3，若50＜a_m＜80，求m；

(3)若存在正整数N，使得当n＞N时，有a_n+1＜a_n，求证：存在正整数M，使得当n＞M时，有a_n＜0．

在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边长分别是a、b、c．满足2acosC＋ccosA＝b．

(1)求C的大小；

(2)求sinA＋sinB的最大值．

已知函数f(x)＝e^x－ex．

(Ⅰ)求函数f(x)的最小值；

(Ⅱ)求证：(n∈N^*)；

(Ⅲ)对于函数h(x)与g(x)定义域上的任意实数x，若存在常数k，b，使得h(x)≥kx＋b和g(x)≤kx＋b都成立，则称直线y＝kx＋b为函数h(x)与g(x)的“分界线”设函数，g(x)＝elnx，h(x)与g(x)是否存在“分界线”？若存在，求出k，b的值；若不存在，请说明理由．

已知椭圆C的方程，直线l与椭圆C交于A，B两点，且OA⊥OB(O为坐标原点)，OH⊥AB于H点．

(Ⅰ)求点H的轨迹方程；

(Ⅱ)设M为(Ⅰ)中轨迹上的动点，点，求∠OMN的最大值．