Question

已知数列{a_n}中，a₂=1，前n项和为S_n，且．
（1）求a₁，a₃；
（2）求证：数列{a_n}为等差数列，并写出其通项公式；
（3）设，试问是否存在正整数p，q（其中1＜p＜q），使b₁，b_p，b_q成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组（p，q）；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）解：令n=1，则a₁=S₁==0，
令n=3，则，即0+1+a₃=，解得a₃=2；
（2）证明：由，即①，得②，
②-①，得（n-1）a_n+1=na_n ③，
于是，na_n+2=（n+1）a_n+1 ④，
③+④，得na_n+2+na_n=2na_n+1，即a_n+2+a_n=2a_n+1，
又a₁=0，a₂=1，a₂-a₁=1，
所以数列{a_n}是以0为首项，1为公差的等差数列．
所以a_n=n-1．
（3）假设存在正整数数组（p，q），使b₁，b_p，b_q成等比数列，
则lgb₁，lgb_p，lgb_q成等差数列，
于是，．
所以，（☆）．易知（p，q）=（2，3）为方程（☆）的一组解．
当p≥3，且p∈N*时，＜0，
故数列{}（p≥3）为递减数列
于是≤＜0，所以此时方程（☆）无正整数解．
综上，存在唯一正整数数对（p，q）=（2，3），使b₁，b_p，b_q成等比数列．
分析：（1）在中，分别令n=2，n=3即可求得答案；
（2）由，即①，得②，两式作差得（n-1）a_n+1=na_n ③，从而有na_n+2=（n+1）a_n+1 ④，③+④，根据等差数列中项公式即可证明；
（3）假设存在正整数数组（p，q），使b₁，b_p，b_q成等比数列，则lgb₁，lgb_p，lgb_q成等差数列，从而可用p表示出q，观察可知（p，q）=（2，3）满足条件，根据数列单调性可证明（p，q）=（2，3）唯一符合条件．
点评：本题考查等差、等比数列的综合问题，考查等差数列的通项公式，考查递推公式求数列通项，存在性问题往往先假设存在，然后以此出发进行推理论证得到结论．