题目内容

设F₁、F₂为曲线C₁： $数学公式$ + $数学公式$ =1的焦点，P是曲线C₂： $数学公式$ -y²=1与C₁的一个交点，则△PF₁F₂的面积为________．

$\text{[math]}$
分析：根据双曲线和椭圆的定义可得 PF₁+PF₂=2 $\text{[math]}$ ，PF₁-PF₂=2 $\text{[math]}$ ，△PF₁F₂中，由余弦定理可得
cos∠F₁PF₂= $\text{[math]}$ ，故 sin∠F₁PF₂= $\text{[math]}$ ，由△PF₁F₂的面积为 $\text{[math]}$ •PF₁•PF₂•sin∠F₁PF₂运算
得到结果．
解答：由曲线C₁： $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =1的方程可得 F₁ （-2，0）、F₂（2，0），再由椭圆的定义可得
PF₁+PF₂=2 $\text{[math]}$ ．又因曲线C₂： $\text{[math]}$ -y²=1 的焦点和曲线C₁的焦点相同，再由双曲线的定义可得
PF₁-PF₂=2 $\text{[math]}$ ．∴PF₁= $\text{[math]}$ ，PF₂= $\text{[math]}$ ．
△PF₁F₂中，由余弦定理可得 16= $\text{[math]}$ -2（ $\text{[math]}$ ）（ $\text{[math]}$ ）cos∠F₁PF₂，
解得 cos∠F₁PF₂= $\text{[math]}$ ，∴sin∠F₁PF₂= $\text{[math]}$ ，
△PF₁F₂的面积为 $\text{[math]}$ •PF₁•PF₂•sin∠F₁PF₂= $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）（ $\text{[math]}$ ）sin∠F₁PF₂= $\text{[math]}$ ，
故答案为： $\text{[math]}$ ．
点评：本题考查双曲线和椭圆的定义和标准方程，以及简单性质的应用，求出 PF₁= $\text{[math]}$ ，PF₂= $\text{[math]}$ ，
sin∠F₁PF₂ 的值，是解题的关键．