Question

在△ABC中，已知AC=2，BC=3，cosA=-

4

5

．
（Ⅰ）求sinB的值；
（Ⅱ）求sin(2B+

π

6

)的值．

Answer 1

分析：（1）利用cosA，求得sinA，进而根据正弦定理求得sinB．
（2）根据cosA小于0判断A为钝角，从而角B为锐角，进而根据sinB求得cosB和cos2B，进而利用倍角公式求得sin2B，最后根据两角和公式求得答案．

解答：（Ⅰ）解：在△ABC中，sinA=

1-cos2A

=

1-(- 4 5 )2

=

3

5

，由正弦定理，

BC

sinA

=

AC

sinB

．
所以sinB=

AC

BC

sinA=

2

3

×

3

5

=

2

5

．
（Ⅱ）解：∵cosA=-

4

5

，所以角A为钝角，从而角B为锐角，
∴cosB=

1-sin2B

=

1-( 2 5 )2

=

21

5

，cos2B=2cos2B-1=2×

21

5

-1=

17

25

，sin2B=2sinBcosB=2×

2

5

×

21

5

=

4 21

15

．sin(2B+

π

6

)=sin2Bcos

π

6

+cos2Bsin

π

6

=

4 21

25

×

3

2

+

17

25

×

1

2

=

12 7 +17

50

．

点评：本小题考查同角三角函数的基本关系式、两角和公式、倍角公式、正弦定理等的知识，考查基本运算能力