Question

对任意实数a（a≠0）和b，不等式|a+b|+|a-b|≥|a|（|x-1|+|x-2|）恒成立，则实数x的取值范围是    ．

Answer 1

【答案】分析：由绝对值不等式的性质可得|a+b|+|a-b|≥2|a|，再由所给的条件可得2|a|≥|a|（|x-1|+|x-2|），即 2≥|x-1|+|x-2|．再根据绝对值的意义求得2≥|x-1|+|x-2|
的解集．
解答：解：由绝对值不等式的性质可得|a+b|+|a-b|≥|a+b+（a-b）|=2|a|，
再由不等式|a+b|+|a-b|≥|a|（|x-1|+|x-2|）恒成立，可得2|a|≥|a|（|x-1|+|x-2|），
故有2|a|≥|a|（|x-1|+|x-2|），即 2≥|x-1|+|x-2|．
而由绝对值的意义可得|x-1|+|x-2|表示数轴上的x对应点到1和2对应点的距离之和，而和对应点到1和2对应点的距离之和正好等于2，
故2≥|x-1|+|x-2|的解集为 ，
故答案为 ．
点评：本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，属于中档题．