Question

对任意实数a（a≠0）和b，不等式|a+b|+|a-b|≥|a|（|x-1|+|x-2|）恒成立，则实数x的取值范围是______．

Answer 1

由绝对值不等式的性质可得|a+b|+|a-b|≥|a+b+（a-b）|=2|a|，
再由不等式|a+b|+|a-b|≥|a|（|x-1|+|x-2|）恒成立，可得2|a|≥|a|（|x-1|+|x-2|），
故有2|a|≥|a|（|x-1|+|x-2|），即 2≥|x-1|+|x-2|．
而由绝对值的意义可得|x-1|+|x-2|表示数轴上的x对应点到1和2对应点的距离之和，而

1

2

和

5

2

对应点到1和2对应点的距离之和正好等于2，
故2≥|x-1|+|x-2|的解集为 x|

1

2

≤x≤

5

2

，
故答案为 x|

1

2

≤x≤

5

2

．