Question

【题目】已知，．求证：对任意的都存在A的一个4元分拆：使其中某一个的元素恰好是方程的一个解．

Answer 1

【答案】见解析

【解析】

依题意，只须证明A中存在4个不同的元素，且某两个之差等于另两个之差．

首先，S中两数之差（大数减小数，以下同）可取1~99共99个值，而A中16个元素可作出个差．由抽屉原理知，必有2个差是相同的，记为，

其中，从而，．

若，则命题成立；

若，则取走这一个差（但并不是取走元素、），剩下的119个差在1~99之间取值，又必有2个差是相同的，记为，其中，从而，．

若，则命题成立；

若，则取走这一个差，剩下的118个

差在1~99之间取值，又得出必有2个差是相同的．

如此类推，最多进行到第15步时，得出，其中，从而，．

若，则命题成立．

若，则前15步积累了15个相同差，

，①

，②

……

．

由于，故不能取A中的最大数也不能取最小数，只有14个可取值，所以，15个中必有2个是相同的，不妨设．

由于是在取走之后才得出的，

故，不妨设．

①②得．

由，知，又，故，即两两不等．

因此，命题成立．

可见，最多进行到第15步时，必能找出A中4个互不相等的元素a、b、c、d，使得．以这4个元素组成，便可满足题设的全部条件．