Question

已知F₁、F₂分别是双曲线x2-

y2

3

=1的左、右焦点，过F₁斜率为k的直线l₁交双曲线的左、右两支分别于A、C两点，过F₂且与l₁垂直的直线l₂交双曲线的左、右两支分别于D、B两点．
（1）求k的取值范围；
（2）求四边形ABCD面积的最小值．

Answer 1

分析：（1）由题设条件知：l₁，l₂的方程分别为y=k（x+2），y=-

1

k

(x-2)，由

3x2-y2=3 y=k(x+2)

，得（3-k²）x²-4k²x-4k²=0，由于l₁交双曲线于的左右两支分别于A，C两点，故xA•xC=

-4k2-3

3-k2

＜0，由此能求出k的取值范围．
（2）由|AC|=

1+k2

•|xA-xC|=

6(1+k2)

3-k2

，知|BD|=

6[1+(- 1 k )2]

3-(- 1 k )2

=

6(1+k2)

3k2-1

．故四边形ABCD的面积S=

1

2

|AC|•|BD|=

18(k2+1)2

(3-k2)(3k2-1)

，由此能求出四边形面积的最小值．

解答：解：（1）由题设条件知：l₁，l₂的方程分别为y=k（x+2），y=-

1

k

(x-2)，
由

3x2-y2=3 y=k(x+2)

，得（3-k²）x²-4k²x-4k²=0，
由于l₁交双曲线于的左右两支分别于A，C两点，
∴xA•xC=

-4k2-3

3-k2

＜0，解得k²＜3，
注意到对称性，由直线l₂交双曲线的左右两点分别为D，B两点，得（-

1

k

）²＜3，
∴

1

3

＜k2＜3，k的取值范围是（-

3

，-

3

3

）∪(

3

3

，

3

)．
（2）∵|AC|=

1+k2

•|xA-xC|
=

1+k2

•

( 4k2 3-k 2 )2- 4(-4k2-3) 3-k2

=

6(1+k2)

3-k2

，
∴|BD|=

6[1+(- 1 k )2]

3-(- 1 k )2

=

6(1+k2)

3k2-1

．
∴四边形ABCD的面积S=

1

2

|AC|•|BD|=

18(k2+1)2

(3-k2)(3k2-1)

，
由于S=

18(k2+1)2

(3-k2)(3k2-1)

=

18

3-k2 k2+1 × 3k2-1 k2+1

≥

18

1 4 ×( 3-k2 k2+1 + 3k2-1 k2+1 )2

，
当且仅当

3-k2

k2+1

=

3k2-1

k2+1

，即k²=1，k=±1时，等号成立，
故四边形ABCD面积的最小值为18．

点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合运用，考查等价转化思想的灵活运用，具体涉及到双曲线的简单性质、对称性、韦达定理等基础知识点．