题目内容

已知函数(a∈R，a≠0)．

(1)求f(x)的单调区间；

(2)曲线y＝f(x)在点处的切线恒过y轴上一个定点，求此定点坐标；

(3)若a＞0，，曲线y＝f(x)在点(x₁，f(x₁))处的切线与x轴的交点为(x₂，0)，试比较x₁与x₂的大小，并加以证明．

答案：
解析：

　　(1)．

　　当a＜0时，，f(x)为R上减函数．

　　当a＞0时，由，得或；由，得．此时，f(x)在和上为增函数；在上为减函数．

　　(2)y＝f(x)在点处的切线方程为

　　，令x＝0，得

　　，解得y＝－6．

　　∴曲线y＝f(x)在点处的切线恒过y轴上一个定点，此定点坐标为(0，－6)．

　　(3)曲线y＝f(x)在点(x₁，f(x₁))处的切线方程为

　　．令y＝0，得．

　　∴．

　　∵a＞0，，∴，．

　　∴x₂－x₁＜0，．

　　∴x₂＜x₁．

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已知函数f（x）=x²+（a-3）x+a²-3a（a为常数）．
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（2）设实数p，q，r满足：p，q，r中的某一个数恰好等于a，且另两个恰为方程f（x）=0的两实根，判断①p+q+r，②p²+q²+r²，③p³+q³+r³是否为定值？若是定值请求出：若不是定值，请把不是定值的表示为函数g（a），并求g（a）的最小值；
（3）对于（2）中的g（a），设H(a)=-

[g(a)-27]，数列{a_n}满足a_n+1=H（a_n）（n∈N^*），且a₁∈（0，1），试判断a_n+1与a_n的大小，并证明之．

已知函数f（x）同时满足如下三个条件：①定义域为[-1，1]；②f（x）是偶函数；③x∈[-1，0]时，

，其中a∈R．
（Ⅰ）求f（x）在[0，1]上的解析式，并求出函数f（x）的最大值；
（Ⅱ）当a≠0，x∈[0，1]时，函数

，若g（x）的图象恒在直线y=e上方，求实数a的取值范围（其中e为自然对数的底数，e=2.71828…）．

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（Ⅰ）求f（x）在[0，1]上的解析式，并求出函数f（x）的最大值；
（Ⅱ）当a≠0，x∈[0，1]时，函数

，若g（x）的图象恒在直线y=e上方，求实数a的取值范围（其中e为自然对数的底数，e=2.71828…）．

已知函数 $数学公式$ a∈R，a是常数
（1）求 $数学公式$ 的值
（2）若函数f（x）在 $数学公式$ 上的最大值与最小值之和为 $数学公式$ ，求实数a的值．

如果f（x）是函数f（x）的一个极值，称点（x，f（x））是函数f（x）的一个极值点．已知函数f（x）=（ax-b）

（x≠0且a≠0）
（1）若函数f（x）总存在有两个极值点A，B，求a，b所满足的关系；
（2）若函数f（x）有两个极值点A，B，且存在a∈R，求A，B在不等式|x|＜1表示的区域内时实数b的范围．
（3）若函数f（x）恰有一个驻点A，且存在a∈R，使A在不等式

表示的区域内，证明：0≤b＜1．