题目内容

（文科）双曲线 $数学公式$ （a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂，过点 F₁作倾斜角为30°的直线l，l与双曲线的右支交于点P，若线段PF₁的中点M落在y轴上，则双曲线的渐近线方程为

A.
y=±x
B.
y=± $数学公式$ x
C.
y=± $数学公式$ x
D.
y=±2x

C
分析：由于线段PF₁的中点M落在y轴上，连接MF₂，则|MF₁|=|MF₂|=|PM|= $\text{[math]}$ |PF₁|?△PF₁F₂为直角三角形，△PMF₂为等边三角形，于是|PF₁|-|PF₂|=|MF₁|=2a，|F₁F₂|=2c= $\text{[math]}$ |MF₁|=2 $\text{[math]}$ a?c= $\text{[math]}$ a，由c²=a²+b²可求得b= $\text{[math]}$ a，于是双曲线的渐近线方程可求．
解答：连接MF₂，由过点 PF₁作倾斜角为30°，线段PF₁的中点M落在y轴上得：|MF₁|=|MF₂|═|PM|= $\text{[math]}$ |PF₁|，
∴△PMF₂为等边三角形，△PF₁F₂为直角三角形，
∵是|PF₁|-|PF₂|=|MF₁|=2a，|F₁F₂|=2c= $\text{[math]}$ |MF₁|=2 $\text{[math]}$ a
∴c= $\text{[math]}$ a，又c²=a²+b²，
∴3a²=a²+b²，
∴b= $\text{[math]}$ a，
∴双曲线 $\text{[math]}$ （a＞0，b＞0）的渐近线方程为：y=± $\text{[math]}$ =± $\text{[math]}$ x．
故选 C．
点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系，关键是对双曲线定义的灵活应用及对三角形△PMF₂为等边三角形，△PF₁F₂为直角三角形的分析与应用，属于难题．