Question

（08年唐山一中一模文）（12分） 已知函数f(x)=x³+ax²+bx(a,b∈R)的图像过点P(1,2)，且在点P处的切线斜率为8.

（Ⅰ）求a,b的值；

（Ⅱ）求函数f(x)的单调区间；

（Ⅲ）求函数f(x)在区间[-1,1]上的最值.

Answer 1

解析:（I）∵函数f(x)的图像过点P(1,2)，∴f(1)=2, ∴a+b=1.  ①

又函数图像在点P处的切线的斜率为8，∴=8,

又=3x²+2ax+b, ∴2a+b=5②

由①②组成方程组解得a=4,b=-3. ………………4分

(Ⅱ)由（I）得=3x²+8x-3,令>0可得x<-3或x>;∴令<0可得-3,

∴函数f(x)的单调增区间为(-∞,-3),( ，+∞);减区间(-3,).…………8分

（III）由(Ⅱ)可知f(x)在(-1, )上是减函数，在(,1),上是增函数。

∴f(x)在区间[-1,1]上的最小值为f()=. 又f(-1)=6,f(1)=2, 

∴f(x)在区间[-1,1]上的最大值为f(-1)=6

∴函数f(x)在[-1,1]上的最小值为，最大值为6. ………………12分