Question

【题目】已知数列{an}满足a1= ，an= （n≥2，n∈N）．
（1）试判断数列 是否为等比数列，并说明理由；
（2）设bn= ，求数列{bn}的前n项和Sn；
（3）设cn=ansin ，数列{cn}的前n项和为Tn ． 求证：对任意的n∈N* ， Tn＜ ．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵ ，

∴ ，

又∵ ，

∴数列 是首项为3，公比为﹣2的等比数列．

（2）解：依（1）的结论有 ，

即 ．

bn=（32n﹣1+1）2=94n﹣1+62n﹣1+1．

．

（3）解：∵ ，

∴ ．

当n≥3时，

则 ＜

= ．

∵T1＜T2＜T3，

∴对任意的n∈N*， ．

【解析】（1）根据题意，对 进行变形可得 ，从而证得结论；（2）根据（1）求出数列an ， 从而求得bn ， 利用分组求和法即可求得结果；（3）首先确定出数列{cn}的通项公式，利用放缩的思想将数列的每一项进行放缩，转化为特殊数列的求和问题达到证明不等式的目的．
【考点精析】关于本题考查的等比关系的确定和数列的前n项和，需要了解等比数列可以通过定义法、中项法、通项公式法、前n项和法进行判断；数列{an}的前n项和sn与通项an的关系才能得出正确答案．