Question

如图分别为三棱锥S-ABC的直观图与三视图，在直观图中，SA=SC，M、N分别为AB、SB的中点．
（1）求证：AC⊥SB；
（2）求二面角M-NC-B的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由三视图我们易得平面SAC⊥底面ABC，底面△ABC为正三角形，结合已知中SA=SC，我们取AC的中点O，连接OS，OB．根据等腰三角形三线合一，我们易证明AC⊥平面OSB，根据线面垂直的定义，得到结论．
（2）以O的原点，以OA，OB，OS分别为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系，确定各点坐标后，求出相关向量的坐标，然后求出平面MNC与平面NBC的法向量，利用向量法求二面角M-NC-B的余弦值．
解答：解：（1）由题意知：，
侧面SAC⊥底面ABC，底面△ABC为正三角形，
取AC的中点O，连接OS，OB．
∵SA=SC，AB=AC，
∴AC⊥SO，AC⊥OB
∴AC⊥平面OSB，
∴AC⊥SB（4分）
（2）如图所示建立空间直角坐标系O-xyz，

则∴
设n=（x，y，z）为平面CMN的一个法向量，
则
取z=1得
所以（8分）
又由上可得
设m=（a，b，c）为平面NBC的法向量
则
得
取c=1，则（10分）
所以
所以二面角M-NC-B的余弦值为（12分）
点评：本题考查的知识点是简单物体的三视图，线面垂直的证明与性质，二面角的求法，解答的关键是根据三视图分析几何体的线面关系．