Question

（2012•芜湖二模）如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，PD⊥面ABCD，E是PD上一点．
（1）求证：AC⊥BE．
（2）若PD=AD=1，且∠PCE的余弦值为

3 10

10

，求三棱锥E-PBC的体积．

Answer 1

分析：（1）连接BD，由已知中四棱锥P-ABCD的底面是正方形，PD⊥面ABCD，可得PD⊥AC，进而得到AC⊥面PBD，由线面平行的定义，可得答案．
（2）设PE=x，由勾股定理求出CE，结合∠PCE的余弦值为

3 10

10

，由余弦定理可得x值，代入棱锥体积公式可得答案．

解答：解：（1）连接BD
∵ABCD是正方形
∴AC⊥BD又PD⊥面ABCD
∴PD⊥AC
∵PD∩BD=D
∴AC⊥面PBD，又BE?面PBD
∴AC⊥BE…（6分）
（2）设PE=x，则CE=

DE2+CD2

=

(1-x)2+1

又PC=

2

cos∠PCE=

3

10

∴△PCE中，由余弦定理解为：x=

1

2

∴S△PCE=

1

2

•PE•CD=

1

4

∴VE-PBC=VB-PCE=

1

3

•BCS△PCE=

1

3

•1•

1

4

=

1

12

…（12分）

点评：（1）的关键是于熟练掌握线面垂直，线线垂直之间的相互转化，熟练掌握线面垂直的定义及判定是基础；
（2）的关键是利用等积法，将三棱锥转化为B-PEC，解三角形PEC求出底面面积