Question

已知点，、、是平面直角坐标系上的三点，且、、成等差数列，公差为，．
（1）若坐标为，，点在直线上时，求点的坐标；
（2）已知圆的方程是，过点的直线交圆于两点，
是圆上另外一点，求实数的取值范围；
（3）若、、都在抛物线上，点的横坐标为，求证：线段的垂直平分线与轴的交点为一定点，并求该定点的坐标．

Answer 1

（1）或（2）当时，或 ；当时，或
（3）

试题分析：解（1），所以，设
则，消去，得，…（2分）
解得，,所以的坐标为或   
（2）由题意可知点到圆心的距离为…（6分）
（ⅰ）当时，点在圆上或圆外，，
又已知，，所以  或    
（ⅱ）当时，点在圆内， 所以，
又已知 ，，即或
结论：当时，或 ；当时，或
（3）因为抛物线方程为，所以是它的焦点坐标，点的横坐标为，即 
设，，则，，，
所以         
直线的斜率，则线段的垂直平分线的斜率
则线段的垂直平分线的方程为
直线与轴的交点为定点    
点评：解决的关键是利用直线与圆的位置关系，以及抛物线的几何性质来求解斜率和中垂线方程，属于中档题。