Question

【题目】已知函数.

（1）求函数的单调区间；

（2）设，若对任意、，且，都有，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）.

【解析】

（1）求出函数的定义域和导数，然后分和两种情况讨论，分析在的符号，可得出函数的单调区间；

（2）设，由函数和在上的单调性，将不等式等价转化为，并构造函数，将问题转化为函数在上是减函数，然后由在上恒成立，结合参变量分离法可求出实数的取值范围.

（1）函数的定义域为，.

当时，恒成立，此时，函数在上单调递增；

当时，由得；由得.

此时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；

（2）时，函数在上递增，在上递减，

不妨设，则，，

等价于，

即，令，

等价于函数在上是减函数，

，即在恒成立，

分离参数，得，

令，，在上单调递减，

，，又，故实数的取值范围为.