题目内容
已知点M（-5，0）、C（1，0），B分| MC |
| PC |
| BC |
| PB |
| CB |
（1）求点P的轨迹C对应的方程；
（2）已知点A（m，2）在曲线C上，过点A作曲线C的两条弦AD、AE，且AD、AE的斜率k1、k2满足k1k2=2．试推断：动直线DE有何变化规律，证明你的结论．
分析：（1）欲求点P的轨迹C对应的方程，设P（x，y），只须求出其坐标x，y的关系式即可，利用向量条件，将点的坐标代入|
|•|
|=
•
，即得；
（2）设直线DE的方程为y=kx+b，D（x1，y1）、E（x2，y2），将直线的方程代入抛物线的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系结合题中条件：“k1•k2=2”即可求得结果，从而解决问题．
| PC |
| BC |
| PB |
| CB |
（2）设直线DE的方程为y=kx+b，D（x1，y1）、E（x2，y2），将直线的方程代入抛物线的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系结合题中条件：“k1•k2=2”即可求得结果，从而解决问题．
解答：解：（1）因为点M（-5，0）、C（1，0），B分
所成的比为2，
所以xB=
=
=-1，yB=0．
设P（x，y）代入|
|•|
|=
•
，得
=1+x．
化简得y2=4x．
（2）将A（m，2）代入y2=4x，得m=1，即A（1，2）．
∵k1k2=2，∴D、E两点不可能关于x轴对称，∴DE的斜率必存在．
设直线DE的方程为y=kx+b，D（x1，y1）、E（x2，y2）
由
得k2x2+2（kb-2）x+b2=0．
∵k1•k2=2，∴
•
=2 (x1、x2≠1)．
且y1=kx1+b、y2=kx2+b．
∴（k2-2）x1x2+（kb-2k+2）（x1+x2）+（b-2）2-2=0．
将x1+x2=
，x1x2=
代入化简得b2=（k-2）2，∴b=±（k-2）．
（i）将b=k-2代入y=kx+b得y=kx+k-2=k（x+1）-2，过定点（-1，-2）．
（ii）将b=2-k入y=kx+b得y=kx+2-k=k（x-1）+2．
过定点（1，2）．即为A点，不合题意，舍去．
∴直线DE恒过定点（-1，-2）．
| MC |
所以xB=
| xM+2xC |
| 1+2 |
| -5+2 |
| 1+2 |
设P（x，y）代入|
| PC |
| BC |
| PB |
| CB |
| (x-1)2+y2 |
化简得y2=4x．
（2）将A（m，2）代入y2=4x，得m=1，即A（1，2）．
∵k1k2=2，∴D、E两点不可能关于x轴对称，∴DE的斜率必存在．
设直线DE的方程为y=kx+b，D（x1，y1）、E（x2，y2）
由
|
∵k1•k2=2，∴
| y1-2 |
| x1-1 |
| y2-2 |
| x2-1 |
且y1=kx1+b、y2=kx2+b．
∴（k2-2）x1x2+（kb-2k+2）（x1+x2）+（b-2）2-2=0．
将x1+x2=
| -2(kb-2) |
| k2 |
| b2 |
| k2 |
（i）将b=k-2代入y=kx+b得y=kx+k-2=k（x+1）-2，过定点（-1，-2）．
（ii）将b=2-k入y=kx+b得y=kx+2-k=k（x-1）+2．
过定点（1，2）．即为A点，不合题意，舍去．
∴直线DE恒过定点（-1，-2）．
点评：本题主要考查抛物线的标准方程的问题、直线与圆锥曲线的综合问题．要能较好的解决抛物线问题，必须熟练把握好直线与抛物线的位置关系筛处理方法．
练习册系列答案
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=2
，P是平面内一动点，且满足|
|•|
|=
•
．
所成的比为2．P是平面上一动点，且满足
．