Question

如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，，AF=1，M是线段EF的中点．
（1）求证AM∥平面BDE；
（2）试在线段AC上确定一点P，使得PF与CD所成的角是60°．

Answer 1

【答案】分析：（1）由题意建立空间直角坐标系，利用向量平行得到线线平行，从而说明线面平行；
（2）设出线段AC上P点的坐标，由PF与CD所成的角是60°，得到向量与所成的角的余弦值的绝对值等于，由此可求得P点的坐标．
解答：（1）证明：如图建立空间直角坐标系．设AC∩BD=N，
连结NE，则，E（0，0，1）∴
又，，
∴．
∴，且NE与AM不共线，
∴NE∥AM，又NE?平面BDE，AM?平面BDE，
∴AM∥平面BDE．
（2）设P（t，t，0），
则=，=．
又∵与所成的角为60°，∴，
解之得或（舍去），
故点P为AC的中点时满足题意．
点评：本题考查了直线与平面平行的判定，考查了直线与直线所成角的求法，解答的关键是建立正确的右手系，利用向量证明线面平行时，最后要回归到直线与平面平行，是中档题．