Question

某几何体ABC-A₁B₁C₁的三视图和直观图如图所示．
（1）求证：A₁C⊥平面AB₁C₁；
（2）求二面角C₁-AB₁-C的余弦值．

Answer 1

分析：解法一：（Ⅰ）由三视图可知，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥底面A₁B₁C₁，B₁C₁⊥A₁C₁，且AA₁=AC=4，BC=3． 以点C为原点，分别以CA、CB所在直线为x轴、y轴，建立空间直角坐标系，）通过证得

CA1

•

C1A

=4×4+0×0+4×(-4)=0，

CA1

•

C1B1

=4×0+0×3+(-4)×0=0，证出CA₁⊥C₁A，CA₁⊥C₁B₁
又C₁A∩C₁B₁=C₁，得出A₁C⊥平面AB₁C₁． 
（Ⅱ）分别求出平面AB₁C的一个法向量，平面AB₁C₁的一个法向量，利用两法向量夹角求出二面角C₁-AB₁-C的大小．
解法二：（Ⅰ）由三视图可知，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥底面A₁B₁C₁，B₁C₁⊥A₁C₁，
且AA₁=AC=4，BC=3． 得出AA₁⊥平面A₁B₁C₁，B₁C₁?平面A₁B₁C₁，从而AA₁⊥B₁C₁，又B₁C₁⊥A₁C₁，证得B₁C₁⊥平面A₁ACC₁，继而A₁C⊥B₁C₁． 由正方形A₁ACC₁可得，A₁C⊥AC₁，又AC₁∩B₁C₁=C₁，所以A₁C⊥平面AB₁C₁．
（Ⅱ）同解法一．

解答：解法一：（Ⅰ）由三视图可知，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥底面A₁B₁C₁，B₁C₁⊥A₁C₁，且AA₁=AC=4，BC=3．    …（2分）
以点C为原点，分别以CA、CB所在直线为x轴、y轴，建立空间直角坐标系，如图．由已知可得A（4，0，0），B（0，3，0），C（0，0，0），A₁（4，0，4），B₁（0，3，4），C₁（0，0，4），∴

CA1

=(4，0，4)，

C1A

=(4，0，-4)，

C1B1

=(0，3，0)．             …（4分）∴

CA1

•

C1A

=4×4+0×0+4×(-4)=0，

CA1

•

C1B1

=4×0+0×3+(-4)×0=0，∴CA₁⊥C₁A，CA₁⊥C₁B₁
又C₁A∩C₁B₁=C₁，
∴A₁C⊥平面AB₁C₁． …（7分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，

CA

=(4，0，0)，

CB1

=(0，3，4)，
设平面AB₁C的法向量为n=（x，y，z），则

CA

⊥n，

CB1

⊥n，∴

CB1 •n=0 CA •n=0

∴

4x=0 3y+4z=0

令y=4，得平面AB₁C的一个法向量为n=（0，4，-3），…（10分）
由（Ⅰ）知，

CA1

是平面AB₁C₁的法向量，…（11分）cos?n，

CA1

＞=

n• CA1

|n|| CA1 |

=

-12

20 2

=-

3 2

10

．故二面角C₁-AB₁-C的余弦值为

3 2

10

．…（13分）
解法二：（Ⅰ）由三视图可知，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥底面A₁B₁C₁，B₁C₁⊥A₁C₁，
且AA₁=AC=4，BC=3． …（2分）
∵AA₁⊥平面A₁B₁C₁，B₁C₁?平面A₁B₁C₁，∴AA₁⊥B₁C₁，∵B₁C₁⊥A₁C₁，AA₁∩A₁C₁=A₁，∴B₁C₁⊥平面A₁ACC₁，…（4分）
∵A₁C?平面A₁ACC₁，∴A₁C⊥B₁C₁． …（5分）
由正方形A₁ACC₁可得，A₁C⊥AC₁，又AC₁∩B₁C₁=C₁，
∴A₁C⊥平面AB₁C₁．…（7分）
（Ⅱ）同解法一．

点评：本题考查空间直线、平面位置关系的判断，空间角求解，考查空间想象能力、推理论证、计算、转化能力．