Question

已知某几何体的直观图（图1）与它的三视图（图2），其中俯视图为正三角形，其它两个视图是矩形．已知D是这个几何体的棱A₁ C₁的中点．
（I）求出该几何体的体积；
（II）求证：直线BC_l∥平面AB₁D：
（Ⅲ）求平面AB_lD与平面ABC所成锐二面角的余弦值．

Answer 1

分析：由三视图可知：该几何体是一个正三棱柱，底面是高为

3

的正三角形，三棱柱的高为h=3．
（Ⅰ）先求出底面正三角形的面积，再利用正三棱柱的体积计算公式即可得出；
（Ⅱ）利用三角形的中位线定理和线面平行的判定定理即可证明；
（Ⅲ）通过建立空间直角坐标系，利用两平面的法向量的夹角即可得到两平面所成的锐二面角的余弦值．

解答：解：由三视图可知：该几何体是一个正三棱柱，底面是高为

3

的正三角形，三棱柱的高为h=3．
（Ⅰ）由底面是高为

3

的正三角形，可得底面正三角形的边长为2，因此S_底面△ABC=

3

4

×22=

3

．
∴此正三棱柱的体积V=Sh=3

3

．
（Ⅱ）连接A₁B交AB₁于点O，连接OD，由矩形ABB₁A₁，可得A₁O=OB．
又∵D是这个几何体的棱A₁ C₁的中点，∴OD是三角形A₁BC₁的中位线，∴OD∥BC₁．
∵BC₁?平面AB₁D，OD?平面AB₁D，∴BC₁∥平面AB₁D．
（Ⅲ）如图所示，取线段AC的中点E，连接ED，EB，分别以EB，EC，ED为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．
则E（0，0，0），D（0，0，3），A（0，-1，0），B1(

3

，0，3)．
∴

DB1

=(

3

，0，0)，

AD

=(0，1，3)，

ED

=(0，0，3)．
设平面AB₁D的法向量为

n

=(x，y，z)，
则

n • AD =0 n • DB1 =0

，即

y+3z=0 3 x=0

，令z=-1，解得y=3，x=0，∴

n

=(0，3，-1)．
∵ED⊥平面ABC，∴可取

ED

=(0，0，3)为平面ABC的法向量．
∴cos＜

n

，

ED

＞=

n • ED

| n | | ED |

=

-3

3× 32+1

=-

10

10

．
∴平面AB_lD与平面ABC所成锐二面角的余弦值为

10

10

．

点评：由三视图可知正确得出该几何体是一个正三棱柱，熟练掌握正三角形的面积、正三棱柱的体积计算公式、三角形的中位线定理和线面平行的判定定理、通过建立空间直角坐标系并利用两平面的法向量的夹角求得两平面所成的锐二面角的余弦值是解题的关键．