Question

已知正项数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足S_n+S_n-1=+2（n≥2，n∈N*，k＞0），a₁=1．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{}的前n项和为T_n，是否存在常数k，使得T_n＜2对所有的n∈N*都成立？若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）再写一式，两式相减，即可得到结论；
（2）利用裂项求和，可得使得T_n＜2对所有的n∈N^*都成立，只需要k+k²≤2（k＞0），即可得到结论．
解答：解：（1）∵S_n+S_n-1=+2，∴S_n+1+S_n=+2
两式相减可得（a_n+1+a_n）[]=0
∵正项数列{a_n}，
∴（n≥2）
∵S₂+S₁=+2，a₁=1
∴
∴a_n=；
（2）由题意，T₁=k，
当n≥2时，=k+=
∵T_n=＜k+k²
∴使得T_n＜2对所有的n∈N^*都成立，只需要k+k²≤2（k＞0），
∴0＜k≤1．
点评：本题考查数列的通项与求和，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．