题目内容
【题目】已知M为△ABC的中线AD的中点，过点M的直线分别交两边AB、AC于点P、Q，设 
=x 
， 
，记y=f（x）．
（1）求函数y=f（x）的表达式；
（2）设g（x）=x3+3a2x+2a，x∈[0，1]．若对任意x1∈[ 
，1]，总存在x2∈[0，1]，使得f（x1）=g（x2）成立，求实数a的取值范围．
【答案】
（1）解：∵过点M的直线分别交两边AB、AC于P、Q，
∴0＜x≤1，0＜y≤1
又∵ 
=x 
， 
=y 
，
∴ 
= 
= 
（ + ）= 
+ 
又∵P、M、Q三点共线，
∴ + =1，
∴y=f（x）= 
由 
得 
，
∴ 
≤x≤1，
∴y=f（x）= ，x∈[ ，1]
（2）解：∵f（x）= = + 
在[ ，1]内是减函数，
∴[f（x）]min=f（1）= ，[f（x）]max=f（ ）=1，
即函数f（x）的值域为[ ，1]
∵g'（x）=3x2+3a2≥0，
∴g（x）在[0，1]内是增函数，
∴[g（x）]min=g（0）=2a，[g（x）]max=g（1）=3a2+2a+1，
∴g（x）的值域为[2a，3a2+2a+1]
由题设得[ ，1][2a，3a2+2a+1]，
则 
解得a的取值范围是（﹣∞，﹣ 
]∪[0， 
]
【解析】（1）表示出向量AM，根据P、M、Q三点共线，得到关于x，y的等式，解出y即f（x）的解析式；（2）分别根据f（x），g（x）的单调性，求出f（x），g（x）的值域，结合集合的包含关系得到关于a的不等式组，解出即可．
【考点精析】掌握平面向量的基本定理及其意义是解答本题的根本，需要知道如果
、
是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量
，有且只有一对实数
、
，使
．
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