题目内容
已知数列{an}的各项排成如图所示的三角形数阵，数阵中每一行的第一个数a1，a2，a4，a7，…构成等差数列{bn}，Sn是{bn}的前n项和，且b1=a1=1，S5=15．（ I ）若数阵中从第三行开始每行中的数按从左到右的顺序均构成公比为正数的等比数列，且公比相等，已知a9=16，求a50的值；
（Ⅱ）设
，当m∈[-1，1]时，对任意n∈N*，不等式
恒成立，求t的取值范围．
【答案】分析：（I）由等差数列{bn}满足b1=a1=1，S5=15．求出数列的公差后，可得数列的通项公式，结合数阵中从第三行开始每行中的数按从左到右的顺序均构成公比为正数的等比数列，且公比相等，a9=16，可求出公比，进而求出a50的值；
（Ⅱ）由（1）求出Sn的表达式，利用裂项相消法求出Tn的表达式，进而将不等式恒成立问题，转化为最值问题，利用导数法，可得答案．
解答：解：（I）设等差数列{bn}的公差为d，
∵b1=1，S5=5+10d=15．
解得d=1
∴bn=n
∴b4=a7=4，
设第三行开始，每行的公比都是q，且q＞0
则a9=a7•q2=4q2=16
解得q=2
又由前9行共有1+2+3+…+9=45个数
故a50是数列第10行第5个数
故a50=b10•q4=10×16=160
（II）由（I）易得Sn=1+2+…+n=
∴
=
+
+…+
=2（
-
+
-
+…+
-
）
=2（
-
）
=
令f（x）=
（x≥1）
∴f′（x）=
，（x≥1）
由x≥1时，f′（x）＜0，故f（x）在[1，+∞）上为减函数
∴Tn随n的增大而减小，故当n=1时Tn取最大值T1=
若不等式
恒成立，
则
恒成立，
即t3-2mt-3＞0恒成立，
令g（m）=t3-2mt-3，m∈[-1，1]
则
即
解得t＜-3或t＞3
点评：本题考查的知识点是等差数列，等比数列，其中（I）的关键求出数列的通项公式，（II）的关键是利用裂项相消法求出Tn的表达式．
（Ⅱ）由（1）求出Sn的表达式，利用裂项相消法求出Tn的表达式，进而将不等式恒成立问题，转化为最值问题，利用导数法，可得答案．
解答：解：（I）设等差数列{bn}的公差为d，
∵b1=1，S5=5+10d=15．
解得d=1
∴bn=n
∴b4=a7=4，
设第三行开始，每行的公比都是q，且q＞0
则a9=a7•q2=4q2=16
解得q=2
又由前9行共有1+2+3+…+9=45个数
故a50是数列第10行第5个数
故a50=b10•q4=10×16=160
（II）由（I）易得Sn=1+2+…+n=
∴
=++…+=2（
-+-+…+-）=2（
-）=
令f（x）=
（x≥1）∴f′（x）=
，（x≥1）由x≥1时，f′（x）＜0，故f（x）在[1，+∞）上为减函数
∴Tn随n的增大而减小，故当n=1时Tn取最大值T1=
若不等式
恒成立，则
恒成立，即t3-2mt-3＞0恒成立，
令g（m）=t3-2mt-3，m∈[-1，1]
则
即
解得t＜-3或t＞3
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