Question

11．已知平面向量$\overrightarrow a=（λ，2）$，$\overrightarrow b=（-3，5）$，其中λ∈R．
（Ⅰ）若$\overrightarrow a$在$\overrightarrow b$方向上的投影为$\sqrt{34}$，求λ的值；
（Ⅱ）若$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角为锐角，求λ的取值范围．

Answer 1

分析 （I）利用$\sqrt{34}$=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|}$，解得λ即可．
（II）由$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角为锐角，可得$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$＞0，且$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$不能同向共线．

解答 解：（I）∵$\overrightarrow a$在$\overrightarrow b$方向上的投影为$\sqrt{34}$，∴$\sqrt{34}$=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|}$=$\frac{-3λ+10}{\sqrt{{3}^{2}+{5}^{2}}}$，解得λ=-8．
（II）∵$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角为锐角，
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$＞0，且$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$不能同向共线．
∴-3λ+10＞0，5λ+6≠0，
解得$λ＞\frac{10}{3}$．
∴λ的取值范围是$λ＞\frac{10}{3}$．

点评 本题考查了数量积运算性质、向量的投影、向量的夹角公式、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．