Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，CB=1，CA=，AA₁=M为侧棱CC₁上一点，AM⊥A₁C；
（1）求证：B₁C₁∥平面A₁BC；
（2）求异面直线A₁B与AC所成的角的余弦值；
（3）求点C到平面ABM的距离．

Answer 1

解：（1）证明：在直棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
B₁C₁∥BC，B₁C₁?平面A₁BC，BC?平面A₁BC
∴B₁C₁∥平面A₁BC．
（2）在直棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC∥A₁C₁，
∴∠BA₁C₁或其补角是异面直线A₁B与AC所成的角．
连接BC₁，
∴CC₁⊥平面A₁B₁C₁，
∴CC₁⊥A₁C₁，
又∠A₁C₁B₁=∠ACB=90°，即A₁C₁⊥B₁C₁
∴A₁C₁⊥平面BB₁C₁C，
∴BC₁?平面BB₁C₁C，
∴A₁C₁⊥BC₁，
在Rt△BCC₁中，BC=1，CC₁=AA₁=，
∴BC₁=
在Rt△ABC₁中，A₁C₁=，BC₁=，
∴A₁B=
∴．
（3）过点C作CD⊥AB于N，连接MD，过点C作CH⊥MD于H，
∵CC₁⊥平面ABC，
∴由三垂线定理，得MD⊥AB，
∴AB⊥平面MCD，
∴AB⊥CH，又CH⊥MD，
∴CH⊥平面ABM，即CH为点C到平面ABM的距离．
在平面A₁ACC₁中，由A₁C⊥AM，易得△A₁AC∽△ACM，
∴，
∴，
在Rt△ABC中，AB=．
∴，
∴，
在Rt△MCD中，MD=．
∴．
分析：（1）利用直棱柱的性质说明B₁C₁∥BC，B₁C₁?平面A₁BC，BC?平面A₁BC，即可证明B₁C₁∥平面A₁BC．
（2）说明∠BA₁C₁或其补角是异面直线A₁B与AC所成的角．连接BC₁，求出BC₁=，在Rt△ABC₁中，求出的值即可．
（3）过点C作CD⊥AB于N，连接MD，过点C作CH⊥MD于H，说明CH为点C到平面ABM的距离．
通过△A₁AC∽△ACM，求出CM，在Rt△MCD中，求出MD，利用，解出CH．
点评：本题考查直线与平面的平行，异面直线所成的角，点到平面的距离的求法，找出异面直线所成的角与点到平面的距离是解题的关键，考查空间想象能力，计算能力．