Question

【题目】设， 是椭圆上的两点，椭圆的离心率为，短轴长为2，已知向量， ，且， 为坐标原点.

（1）若直线过椭圆的焦点，（ 为半焦距），求直线的斜率的值；

（2）试问： 的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析.

【解析】试题分析：（1）根据条件可得，再设直线的方程为： ，与椭圆联立方程组，利用韦达定理和已知条件，即可求出的值；（2）先考虑直线斜率不存在的情况，即， ，根据，求得和的关系式，代入椭圆的方程求得点的横坐标和纵坐标的绝对值，进而求得△AOB的面积的值；当直线斜率存在时，设出直线的方程，与椭圆联立方程组，利用韦达定理表示出和，再利用，弦长公式及三角形面积公式求得答案.

试题解析：（1）由题可得： ， ，所以，椭圆的方程为

设的方程为： ，代入得：

∴， ，

∵，∴，即：

即，解得：

（2）①直线斜率不存在时，即，

∵

∴，即

又∵点在椭圆上

∴，即

∴，

∴，故的面积为定值1

②当直线斜率存在时，设的方程为，

联立得：

∴， ，

∴

所以三角形的面积为定值1.