Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，满足a₁=1，且对于任意n∈N^*，S_n+2ⁿ是a_n+1与a₁的等差中项．
（1）求a₂，a₃的值；
（2）求证数列{a_n+2ⁿ}是等比数列；
（3）求的前n项和．

Answer 1

【答案】分析：（1）由对于任意n∈N^*，S_n+2ⁿ是a_n+1与a₁的等差中项，可得，分别令n=1，2即可得出a₂，a₃；
（2）由，可得，（n≥2）．
两式相减得，可化为，
又，可得数列{a_n+2ⁿ}是以为首项，3公比的等比数列．
（3）由（2）可知：，得．
可得==1-，再利用等比数列的前n项和公式即可得出．
解答：解：（1）∵对于任意n∈N^*，S_n+2ⁿ是a_n+1与a₁的等差中项，
∴，
当n=1时，可得，又a₁=1，解得a₂=5，
当n=2时，可得，解得a₃=19．
（2）由，可得，（n≥2）．
两式相减得，
∴，
又，
∴数列{a_n+2ⁿ}是以为首项，3公比的等比数列．
（3）由（2）可知：，得．
∴==1-，
∴的前n项和=．
点评：熟练掌握等差数列、等比数列及其前n项和公式、以及可化为等比数列的数列的解法等是解题的关键．