Question

已知函数f（x）定义在（-1，1）上，对于任意的x，y∈（-1，1），有，且当x＜0时，f（x）＞0；
（1）验证函数是否满足这些条件；
（2）若，且|a|＜1，|b|＜1，求f（a），f（b）的值．
（3）若，试解关于x的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求定义域看其是否满足条件，然后验证函数是否满足，最后求出当x＜0时的值域，看是否满足即可；
（2）先判定函数的奇偶性，然后建立f（a），f（b）的方程组，解之即可；
（3）先判定函数f（x）在（-1，1）上的单调性，然后得到，建立关于x的方程，解之即可．
解答：解：（1）由可得-1＜x＜1，即其定义域为（-1，1）
又==
又当x＜0时，1-x＞1+x＞0，∴∴
故满足这些条件．
（2）令x=y=0，∴f（0）=0，
令y=-x，有f（-x）+f（x）=f（0）=0，∴f（x）为奇函数
由条件得，解得．
（3）设-1＜x₁＜x₂＜1，则x₁-x₂＜0，1-x₁x₂＞0，，
则，f（x₁）-f（x₂）＞0，∴f（x）在（-1，1）上是减函数
∵
原方程即为，
∴
又∵
故原方程的解为．
点评：本题主要考查了抽象函数及其应用，以及函数的单调性和奇偶性的判定，同时考查了计算能力和转化的思想，属于中档题．