Question

一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，得0分的概率为0.5（投篮一次得分只能3分、2分、1分或0分），其中a、b∈（0，1），已知他投篮一次得分的数学期望为1，则ab的最大值为（　　）

• A．

  1

  6

• B．

  1

  12

• C．

  1

  24

• D．

  1

  32

Answer 1

分析：设这个篮球运动员得1分的概率为c，由题设知

a+b+c+0.5=1 3a+2b+c=1

，解得2a+b=0.5，再由均值定理能求出ab的最大值．

解答：解：设这个篮球运动员得1分的概率为c，
∵这个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，得0分的概率为0.5，
投篮一次得分只能3分、2分、1分或0分，他投篮一次得分的数学期望为1，
∴

a+b+c+0.5=1 3a+2b+c=1

，
解得2a+b=0.5，
∵a、b∈（0，1），
∴2ab≤(

2a+b

2

)2=(

0.5

2

)2=

1

16

，
∴ab≤

1

32

，
当且仅当2a=b=

1

4

时，ab取最大值

1

32

．
故选D．

点评：本题考查离散型随机变量的分布列和数学期的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意均值定理的灵活运用．