Question

20．若关于x的不等式x²+ax-c＜0的解集为{x|-2＜x＜1}，对任意的t∈[1，2]，函数f（x）=ax³+（m+$\frac{1}{2}$）x²-cx在区间（t，3）上总不是单调函数，则m的取值范围是（　　）

• A． -$\frac{14}{3}$＜m＜-3
• B． -3＜m＜-1
• C． -$\frac{14}{3}$＜m＜-1
• D． -3＜m＜0

Answer 1

分析 先由根与系数的关系求出a、c的值，再求出f（x）的导数f′（x），利用f′（x）在（2，3）上有零点，f′（2）f′（3）＜0，解不等式可得m的取值范围．

解答 解：∵关于x的不等式x²+ax-c＜0的解集为{x|-2＜x＜1}，
∴-a=-2+1且-c=-2×1，∴a=1，c=2，
∴f（x）=ax³+（m+$\frac{1}{2}$）x²-cx=x³+（m+$\frac{1}{2}$）x²-2x，
求导得f′（x）=3x²+（2m+1）x-2；
又∵对于任意的t∈[1，2]，f（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，
∴f′（x）在（2，3）上有零点，
∴f′（2）f′（3）＜0，
即[10+2（2m+1）][25+3（2m+1）]＜0，
整理可得（m+3）（3m+14）＜0，
解得-$\frac{14}{3}$＜m＜-3，
∴m的取什值范围是-$\frac{14}{3}$＜m＜-3．
故选：A．

点评 本题考查一元二次不等式的解法，涉及函数的单调性和零点的存在性，属中档题．