Question

如图，在边长为10的菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，tan∠DAC=

3

4

．现沿对角线BD把△ABD折起，使∠ADC的余弦值为

9

25

．
（Ⅰ）求证：平面ABD⊥平面CBD；
（Ⅱ）若M是AB的中点，求AC与平面MCD所成角的一个三角函数值．

Answer 1

（Ⅰ）证明：菱形ABCD中，tan∠DAC=

3

4

，AD=10，
∴OA=8，OD=6                    …（1分）
翻折后变成三棱椎A-BCD，在△ACD中，

AC2=AD2+CD2-2AD•CD•cos∠ADC        =100+100-2×10×10× 9 25 =128

，…（3分）
在△AOC中，OA²+OC²=128=AC²，…（4分）
∴∠AOC=90°，即AO⊥OC，又AO⊥BD，OC∩BD=O，
∴AO⊥平面BCD，
又AO?平面ABD，
∴平面ABD⊥平面CBD．                    …（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知OA，OC，OD两两互相垂直，分别以OA，OC，OD所在直线为坐标轴建系，则A（0，0，8），B（0，-6，0），C（8，0，0）D（0，6，0）M（0，-3，4），…（7分）

MC

=(8，3，-4)，  

DC

=(8，-6，0)，

AC

=(8，0，-8)，…（8分）
设平面MCD的一个法向量为

n

=(x，y，z)，则由

n • MC =0 n • DC =0

，得

8x+3y-4z=0 8x-6y=0

，…（10分）
令y=4，有

n

=(3，4，9)，…（11分）
设AC与平面MCD所成角为θ，则cosθ=|cos＜

AC

，

n

＞|=|

24-72

106 • 128

|=

3

53

53

，…（13分）
∴AC与平面MCD所成角的余弦值为

3

53

53

，…（14分）