Question

（2012•汕头二模）如果函数f（x）对任意的实数x，存在常数 M，使得不等式|f（x）|≤M|x|恒成立，那么就称函数f（x）为有界泛函．给出下面三个函数：①f（x）=1；②f（x）=x²；③f(x)=

x

x2+x+1

．其中属于有界泛函的是（　　）

A．①

B．②

C．③

D．①②③

Answer 1

分析：根据有界泛函的定义逐项判断即可：①可取x=0说明f（x）不属于有界泛函；②可说明x≠0时，有

|f(x)|

|x|

=|x|无最大值；③可根据定义作出证明；

解答：解：①对于f（x）=1，当x=0时，有|f（x）|=1＞M×0=0，故f（x）=1不属于有界泛函；
②对于f（x）=x²，当x≠0时，有

|f(x)|

|x|

=|x|无最大值，f（x）=x²不属于有界泛函；
③对于f（x）=

x

x2+x+1

，当x≠0时，有

|f(x)|

|x|

=|

1

x2+x+1

|=

1

(x+ 1 2 )2+ 3 4

≤

4

3

，当x=0时，|f（x）|=

4

3

×0，
故f（x）=

x

x2+x+1

属于有界泛函；
故选C．

点评：本题考查函数恒成立问题、新定义，考查学生分析解决问题的能力，注意体会恒成立问题的否定方法．