Question

已知函数f（x）=x|m-x|（x∈R），且f（1）=0．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）作出函数f（x）的图象，并指出函数f（x）的单调区间．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先f（1）=0求得m的值，再去掉绝对值符号将函数解析式化成分段函数的形式即可；
（Ⅱ）为了要画分段函数的图象，可分段画出，分两种情况：①x≤1；②x＞1，对此两种情况分别画出相应的图象即可，最后结合图象的上升与下降可得函数f（x）的单调区间．

解答：解：（Ⅰ）由f（1）=|m-1|=0?m=1，（3分）
f(x)=x|1-x|=

-x2+x，?x≤1 x2-x，x＞1

；（6分）
（Ⅱ）分段画出，分两种情况：①x≤1；②x＞1，图象如图．（10分）
函数f（x）的单调递增区间是(-∞，

1

2

]和[1，+∞），f（x）的单调递减区间是[

1

2

，1]．（12分）

点评：本题主要考查了二次函数的图象和图象变化及数形结合思想，属于基础题．