Question

已知函数f（x）=x³+2bx²+cx+1有两个极值点x₁、x₂，且x₁∈[-2，-1]，x₂∈[1，2]，则f（-1）的取值范围是（　　）

• A、[-

  3

  2

  ，3]
• B、[

  3

  2

  ，6]
• C、[3，12]
• D、[-

  3

  2

  ，12]

Answer 1

分析：根据极值的意义可知，极值点x₁、x₂是导函数等于零的两个根，根据根的分布建立不等关系，画出满足条件的区域即可；利用参数表示出f（-1）的值域，设z=x+3y，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线z=x+3y过可行域内的点A时，从而得到z=x+3y的最大值即可．

解答：解：f'（x）=3x²+4bx+c，（2分）
依题意知，方程f'（x）=0有两个根x₁、x₂，
且x₁∈[-2，-1]，x₂∈[1，2]
等价于f'（-2）≥0，f'（-1）≤0，f'（1）≤0，f'（2）≥0．
由此得b，c满足的约束条件为

12-8b+c≥0 3-4b+c≤0 3+4b+c≤0 12+8b+c≥0

（4分）
满足这些条件的点（b，c）的区域为图中阴影部分．（6分）
由题设知f（-1）=2b-c，
由z=2b-c，
将z的值转化为直线z=2b-c在y轴上的截距，
当直线z=2b-c经过点（0，-3）时，z最小，
最小值为：3．
当直线z=2b-c经过点C（0，-12）时，z最大，
最大值为：12．
故选C．

点评：本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及二元一次不等式（组）与平面区域和不等式的证明，属于基础题．