Question

如图,在正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中,已知M、N、Q分别为棱AB、BC、AA₁的中点,P为MN与BD的交点.给出如下几个命题:

①∠BB₁P是直线BB₁与平面B₁MN所成的角;

②直线AC₁∥平面B₁MN;

③异面直线D₁Q与B₁N成90°角;

④若用与平面B₁MN平行的平面截此正方体,则截面图形一定是三角形或四边形.

则所有正确的命题的序号是_________________.

Answer 1

①③

解:①易证Rt△B₁BM≌Rt△B₁BN.推出B点到∠MB₁N两边距离相等,进而可得到直线B₁B与∠MB₁N两边的夹角相等,所以B₁B在平面MB₁N上的射影必在∠MB₁N的平分线B₁P上.

所以∠BB₁P是直线BB₁与平面B₁MN所成的角.

②在平面B₁MN内任作一条直线,都不能与AC₁平行.

③在平面C₁B上过C₁点作C₁Q₁D₁Q,易证C₁Q₁⊥B₁N.

④截面图形有三角形、四边形,还有六边形.

综上,所有正确命题的序号是①③.