题目内容

已知函数f（x）=2asin2x+2sinxcosx-a（a为常数）在x= $数学公式$ 处取得最大值
（1）求a值；
（2）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（3）若f（θ）= $数学公式$ ，0＜θ＜ $数学公式$ ，求cosθ

解：（1）f（x）=sin2x-acos2x，依题意，sin $\text{[math]}$ -acos $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，解得a=1；
（2）f（x）= $\text{[math]}$ sin（2x- $\text{[math]}$ ），所以，函数的最小正周期是π，由 2kπ- $\text{[math]}$ ≤2x- $\text{[math]}$ ≤2kπ+ $\text{[math]}$ 可得，
$\text{[math]}$ ，故单调递增区间是[kπ- $\text{[math]}$ ，kπ+ $\text{[math]}$ ]，k∈Z．
（3）sin2θ-cos2θ= $\text{[math]}$ （1），平方得2sin2θcos2θ= $\text{[math]}$ ，
而0＜θ＜ $\text{[math]}$ ，sin2θ＞0，cos2θ＞0，所以 sin2θ+cos2θ= $\text{[math]}$ （2）．
联立（1）（2）解得cos2θ= $\text{[math]}$ ，2cos²θ-1= $\text{[math]}$ ，∴cosθ= $\text{[math]}$ ．
分析：（1）根据f（x）=sin2x-acos2x，依题意可得sin $\text{[math]}$ -acos $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，解得a 的值．
（2）化简f（x）= $\text{[math]}$ sin（2x- $\text{[math]}$ ），最小正周期是π，由 2kπ- $\text{[math]}$ ≤2x- $\text{[math]}$ ≤2kπ+ $\text{[math]}$ 求得x的范围，即得递增区间．
（3）由条件可得sin2θ-cos2θ= $\text{[math]}$ （1），平方得2sin2θcos2θ= $\text{[math]}$ ，故sin2θ＞0，cos2θ＞0，故sin2θ+cos2θ=（2），
联立（1）（2）解得cos2θ 的值，再由二倍角公式求出cosθ的值．
点评：本题考查正弦函数的周期性、单调性和值域，二倍角公式的应用，是一道中档题．