Question

（2010•武汉模拟）设f（x）=

1

2

cos²x+

3

2

sinxcosx+2，x∈[-

π

6

，

π

，4

]，则f（x）的值域为

[2，2

3

4

]

．

Answer 1

分析：把函数f（x）的解析式利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，整理后，再根据特殊角的三角函数值及两角和与差的余弦函数公式化为一个角的余弦函数，根据x的范围，求出这个角的范围，利用余弦函数的图象与性质得到余弦函数的值域，进而得到函数f（x）的值域．

解答：解：f（x）=

1

2

cos²x+

3

2

sinxcosx+2
=

1

4

（1+cos2x）+

3

4

sin2x+2
=

1

2

（

1

2

cos2x+

3

2

sin2x）+2

1

4

=

1

2

cos（2x-

π

3

）+2

1

4

，
∵x∈[-

π

6

，

π

4

]，∴2x-

π

3

∈[-

2π

3

，

5π

6

]，
∴-

1

2

≤cos（2x-

π

3

）≤1，
则f（x）的值域为[2，2

3

4

]．
故答案为：[2，2

3

4

]

点评：此题考查了二倍角的正弦、余弦函数公式，两角和与差的余弦函数公式，以及余弦函数的定义域和值域，其中利用三角函数的恒等变形把函数解析式化为一个角的三角函数是解此类题的关键．