Question

如图，在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，AB＝BC，D、E分别为BB₁、AC₁的中点．

(1)证明：ED为异面直线BB₁与AC₁的公垂线．

(2)设AA₁＝AC＝AB，求二面角A_1－AD－C₁的大小．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)如图所示，设O为AC中点，连接EO，BO，则EOC1C，又C1CB1B，所以EODB，EOBD为平行四边形，ED∥OB． 　　∵AB＝BC， 　　∴BO⊥AC． 　　又平面ABC⊥平面ACC1A1，BO面ABC，故BO⊥平面ACC1A1， 　　∴ED⊥平面ACC1A1，BD⊥AC1，ED⊥CC1， 　　∴ED⊥BB1，ED为异面直线AC1与BB1的公垂线． 　　(2)连接A1E，由AA1＝AC＝AB可知，A1ACC1为正方形， 　　∴A1E⊥AC1，又由ED⊥平面ACC1A1和ED平面ADC1知平面ADC1⊥平面A1ACC1， 　　∴A1E⊥平面ADC1，作EF⊥AD，垂足为F，连接A1F，则A1⊥AD，∠A1FE为二面角A1－AD－C1的平面角． 　　不妨设AA1＝2，则AC＝2，AB＝ED＝OB＝1，EF＝， 　　tan∠A1FE＝，∴∠A1FE＝60°． 　　所以二面角A1ADC1为60°．

提示：

由线面垂直，证线线垂直．