Question

已知f ( x )是定义在（－∞，+∞）上的函数，f ( x + y ) = f ( x ) +  f ( y )对任意x，y∈R都成立．且当x > 0时，f ( x ) < 0，又f ( 2 ) =－2．求函数f ( x )在[－6，6]上的最大值和最小值．

 

Answer 1

答案：
解析：

解：∵ f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ) 对任意x，y∈R都成立， 令 y =－x，得f ( 0 ) = f ( x ) + f ( －x ) 再令x = y = 0，得 f ( 0 ) = f ( 0 ) + f ( 0 )，故f ( 0 ) = 0． ∴ f (－x ) =－f ( x ) ． ∴ f ( x )是奇函数． 任取x1，x2，使－6≤x1 < x2≤6， 则x1－x2 < 0，故f (x2－x1) < 0． 且 f ( x2 )－f ( x1 ) = f ( x2 )+ f (－x1 ) = f (x2－x1) < 0 ∴ f ( x )在[－6，6]上是减函数 ． ∴ f ( x )在[－6，6]上的最大值为f (－6 ) =－f ( 6 ) = －[ f ( 2 ) + f ( 2 ) + f ( 2 ) ] = 6； 最小值为 f ( 6 ) =－6．

提示：

由f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y )  可证f ( x )是奇函数 再证f ( x )是 [－6，6]上的减函数