Question

如图，棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的所有棱长都等于2，∠ABC=60°，平面AA₁C₁C⊥平面ABCD，∠A₁AC=60°．
（Ⅰ）证明：BD⊥AA₁；
（Ⅱ）在直线CC₁上是否存在点P，使BP∥平面DA₁C₁？若存在，求出点P的位置；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（I）过A₁作A₁O⊥AC于点O，根据已知的面面垂直，结合平面与平面垂直的性质定理得到A₁O⊥平面ABCD，因此BD⊥A₁O，再由菱形的对角线互相垂直得出AC⊥BD，最后结合直线与平面垂直、平面与平面垂直的判定与性质，可得BD⊥AA₁；
（II）在C₁C的延长线上取点P，使C₁C=CP，连接BP，结合四边形A₁B₁CD为平行四边形，得到BB₁、CC₁、CP互相平行且相等，可得四边形BB₁CP为平行四边形，所以存在直线CC₁上是否存在点P，使BP∥平面DA₁C₁．

解答：解：过A₁作A₁O⊥AC于点O，由于平面AA₁C₁C⊥平面ABCD，由面面垂直的性质定理知，A₁O⊥平面ABCD，
又底面为菱形，所以AC⊥BD．

由于BD⊥AC BD⊥A1O A 1O∩AC=0

⇒

BD⊥平面AA1O AA1?平面AA1O

⇒AA1⊥BD…（6分）
（Ⅱ）存在这样的点P，连接B₁C，因为A₁B₁

∥ .

.

AB

∥ .

.

_DC
∴四边形A₁B₁CD为平行四边形．∴A₁D∥B₁C
在C₁C的延长线上取点P，使C₁C=CP，连接BP                       …（8分）
因B1B

∥ .

.

CC₁，…（12分）
∴BB₁

∥ .

.

CP∴四边形BB₁CP为平行四边形
则BP∥B₁C∴BP∥A₁D∴BP∥平面DA₁C₁                      …（14分）

点评：本题考查了直线与平面平行、垂直的判定与性质等定理，属于中档题．着重考查利用中位线，构造平行四边形等方法进行平行的传递，以及从线面垂直到面面垂直和线线垂直的相互转化的能力，对空间思维有较高的能力要求．