Question

已知曲线y=2sinx与曲线y=ax²+bx+

3

的一个交点P的横坐标为

2π

3

，且两曲线在交点P处的切线与两坐标轴围成的四边形恰好有外接圆，则a与b的值分别为（　　）

A．a= 3 π ，b=1

B．a= 3 π ，b=-1

C．a=- 3 2π ，b=1

D．a= 3 2π ，b=-1

Answer 1

因为点P横坐标

2π

3

，
点P在y=2sinx上，因此点P坐标是（

2π

3

，

3

）；
点P在y=ax²+bx+

3

上，因此有

2π

3

a+b=0①
y=2sinx在点P处的切线的斜率为2cos

2π

3

=-1，
因为两切线与两坐标轴围成的四边形恰有外接圆，且P点在第一象限．
因此两切线垂直（有外接圆的四边形对角和为180度）．即两切线斜率乘积为-1．
因此，y=ax²+bx+

3

在点P处的斜率为1．
又y′=2ax+b可以得出其在点P处的斜率为2a×

2π

3

+b=1 ②．
由①②得：

a= 3 2π b=-1

．
故选：D．