Question

已知椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，且直线x-y+b=0是抛物线y²=4x的一条切线．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点且斜率为1的直线l交椭圆C于M、N两点，求|MN|的值．

Answer 1

解：（Ⅰ）直线x-y+b=0与抛物线y²=4x联立，消去y得：x2+（2b-4）x+b2=0
∵直线x-y+b=0与抛物线y²=4x相切，
∴△=（2b-4）²-4b²=0，∴b=1，
∵椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，
∴a=b=
∴所求椭圆方程为；
（Ⅱ）将直线l：y=x-与椭圆方程联立，消去y可得3x²-2x-=0
设点A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），则x₁+x₂=，x₁x₂=-
∴|AB|=|x₁-x₂|==
分析：（Ⅰ）把抛物线和直线方程联立消去y，根据△=0求出b，再根据两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形得出a和b的关系式，求得a；
（Ⅱ）将直线l：y=x-与椭圆方程联立，消去y，利用韦达定理，即可求|AB|．
点评：本题考查直线与抛物线、直线与椭圆的位置关系，考查椭圆的标准方程，考查韦达定理的运用，属于中档题．