Question

如图，圆与轴相切于点，与轴正半轴相交于两点（点在点的左侧），且．

（Ⅰ）求圆的方程；
（Ⅱ）过点任作一条直线与椭圆相交于两点，连接，求证：．

Answer 1

（Ⅰ）．（Ⅱ）略

(I)由于圆与轴相切于点, 所以圆心坐标为,然后根据
建立关于r的方程求出r值，圆的标准确定.
(2)将y=0代入圆的方程求出M,N的坐标，然后再分两种情况证明.
(i) 当轴时，由椭圆对称性可知.
当与轴不垂直时，可设直线的方程为．证明,然后直线方程与椭圆方程联立借助韦达定理来解决即可
（Ⅰ）设圆的半径为（），依题意，圆心坐标为．∵　∴　，解得． 3分∴　圆的方程为． 5分
（Ⅱ）把代入方程，解得，或，即点，．
（1）当轴时，由椭圆对称性可知． 7分
（2）当与轴不垂直时，可设直线的方程为．
联立方程，消去得，．········ 8分
设直线交椭圆于两点，则，．
∵　，∴　
．
∵，
∴　，．综上所述，．