Question

已知函数，其中

（Ⅰ）若是函数的极值点，求实数的值；

（Ⅱ）若对任意的（为自然对数的底数）都有成立，求实数的取值范围

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）；（Ⅱ）．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）若是函数的极值点，求实数的值，先函数的定义域，与极值有关，可通过求导解决．对求导，由题意可知，可求出的值；（Ⅱ）若对任意的都有成立，即在上的最小值大于或等于在上的最大值，从而转化为分别求函数，在的最小值、最大值，由它们的最值，从而确定出实数的取值范围．

试题解析：（I）解法1：∵h(x)=2x++lnx，其定义域为(0,+∞)， (1分)

∴h＇^`(x)=2--         (3分)

∵x=1是函数h(x)的极值点，∴h＇(1)=0，即3-a²=0．∵a>0，∴a=．

经检验当a=时，x=1是函数h(x)的极值点，∴a=．       (5分)

解法2：∵h(x)=2x++lnx，其定义域为(0,+∞)，

∴h＇^{`</sup>(x)=2--．   令h<sup>`}(x)=0，即2--=0，整理，得2x²+x-a=0．

∵D=1+8a²>0，

∴h^`(x)=0的两个实根x₁=（舍去），x₂=，

当变化时，h(x),h^`(x)的变化情况如下表：

x	(0,x2)		(x2,+∞)
h`(x)	-	0	+
h(x)	↘	极小值	↗

依题意，=1，即a²=3，∵a>0，∴a=．

（Ⅱ）对任意的x₁,x₂∈[1,e]都有f(x₁)≥g(x₂)成立等价于对任意的x₁,x₂∈[1,e]都有[f(x)]_min≥[g(x)]_max

(6分)

当x∈[1,e]时，g^`(x)=1+>0．

∴函数g(x)=x+lnx在[1,e]上是增函数．∴[g(x)]_max=g(e)=e+1．     (8分)

∵f＇^`(x)=1-=，且x∈[1,e]，a>0．

①当0<a<1且x∈[1,e]时，f^`(x)>0，

∴函数f(x)=x+在［1,e］上是增函数，

∴[f(x)]_min=f(1)=1+a²,由1+a²≥e+1，得a≥，又∵0<a<1，

∴不合题意．      (10分)

②当1≤a≤e时，

若1≤x<a，则f＇^{`</sup>(x)=<0;若a<x≤e，则f<sup>`}(x)=>0．

∴函数f(x)=x+在[1,a]上是减函数，在(a,e]上是增函数．

∴[f(x)]_min=f(a)=2a.

由2a≥e+1，得a≥，又1≤a≤e，∴≤a≤e．     (12分)

③当a>e且x∈[1,e]时，f＇(x)=<0，

∴函数f(x)=x+在［1,e］上是减函数．

∴[f(x)]_min=f(e)=e+,由e+≥e+1，得a≥，      (13分)

综上所述,a的取值范围为[,+∞)         (14分)

考点：函数在某点取得极值的条件；函数恒成立问题．