Question

【题目】已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an＋1＝2Sn＋1 (n∈N*)，等差数列{bn}中，bn>0 (n∈N*)，且b1＋b2＋b3＝15，又a1＋b1、a2＋b2、a3＋b3成等比数列.则数列{an·bn}的前n项和Tn为（ ）

A. 3n－1 B. 2n＋1 C. n·3n D. －2n·3n

Answer 1

【答案】C

【解析】∵a1=1,an+1=2Sn+1(n∈N)，

∴an=2Sn1+1(n∈N,n>1)，

∴an+1an=2(SnSn1)，

∴an+1an=2an，

∴an+1=3an(n∈N,n>1)

而a2=2a1+1=3=3a1，

∴an+1=3an(n∈N)

∴数列{an}是以1为首项，3为公比的等比数列，

∴an=3n1，

∴a1=1,a2=3,a3=9，

在等差数列{bn}中，

∵b1+b2+b3=15，

∴b2=5.

又因a1+b1、a2+b2、a3+b3成等比数列,设等差数列{bn}的公差为d，

∴(1+5d)(9+5+d)=64

解得d=10，或d=2，

∵bn>0(n∈N)，

∴舍去d=10，取d=2，

∴b1=3，

∴bn=2n+1(n∈N)

错位相减求和可得Tn=n3n.

本题选择C选项.