Question

已知P（t，t），t∈R，点M是圆x²+（y-1）²=

1

4

上的动点，点N是圆(x-2)2+y2=

1

4

上的动点，则|PN|-|PM|的最大值是

2

．

Answer 1

分析：先根据两圆的方程求出圆心和半径，结合图形，把求|PN||-|PM|的最大值转化为|PF|-|PE|+1的最大值，再利用|PF|-|PE|=|PF|-|PE′|≤|E′F|=1，求出所求式子的最大值．

解答：解：如图：

圆 x2+(y-1)2=

1

4

的圆心E（0，1），圆 (x-2)2+y2=

1

4

的圆心 F（2，0），这两个圆的半径都是

1

2

．
要使|PN||-|PM|最大，需|PN|最大，且|PM|最小，由图可得，|PN|最大值为|PF|+

1

2

，PM|的最小值为|PE|-

1

2

，
故|PN||-|PM|最大值是  （|PF|+

1

2

 ）-（|PE|-

1

2

 ）=|PF|-|PE|+1，
点P（t，t）在直线 y=x上，E（0，1）关于y=x的对称点E′（1，0），直线FE′与y=x的交点为原点O，
则|PF|-|PE|=|PF|-|PE′|≤|E′F|=1，故|PF|-|PE|+1的最大值为1+1=2，
故答案为2．

点评：本题的考点是圆的方程的综合应用，主要考查圆的标准方程，点与圆的位置关系，体现了转化及数形结合的数学思想．