Question

设S为满足下列两个条件的实数所构成的集合，

①S内不含1；

②若a∈S，则∈S.

解答下列问题：

（1）若2∈S，则S中必有其他两个数，求出这两个数；

（2）求证：若a∈S，则1-∈S；

（3）在集合S中元素的个数能否只有一个？请说明理由.

 

Answer 1

思路解析：理解集合中元素的属性是解决问题的突破口，由（1）、（2）知S中不能只有一个元素，对问题（3），若从正面考虑有困难，可逆向思考，即正难则反.

（1）解：∵2∈S，∴∈S，即-1∈S.

∴∈S，即∈S.

（2）证明：∵a∈S，∴∈S.

∴=1-∈S.

（3）解：（用反证法）假设S中只有一个元素，则有a=1-，即a²-a+1=0，方程无实数解，∴集合S中不能只有一个元素.