题目内容

已知f（x）=2sin4x+2cos4x+cos22x-3．
（1）求函数f（x）的最小正周期．
（2）求函数f（x）在闭区间[
π
16
，
3π
16
]上的最小值并求当f（x）取最小值时，x的取值集合．
分析：通过同角三角函数的基本关系式，二倍角公式化简函数为一个角的一个三角函数的形式，
（1）利用周期公式求出函数的最小正周期．
（2）通过x∈[
π
16
，
3π
16
]，求出  4x∈[
π
4
，
3π
4
]，利用函数的单调性，求出函数的最小值，以及x的集合即可．
解答：解：f（x）=2（sin2x+cos2x）2-4sin2xcos2x+cos22x-3
=2×1-sin22x+cos22x-3
=cos22x-sin22x-1
=cos4x-1
（1）函数的最小正周期T=
2π
4
=
π
2
．
（2）x∈[
π
16
，
3π
16
]
  4x∈[
π
4
，
3π
4
]
∴f（x）=cos4x-1在[
π
16
，
3π
16
]是减函数
 当x=
3π
16
时
f（x）有最小值f（
3π
16
）=cos
3π
4
-1=-
2
2
-1，此时x的集合是{
3π
4
}
点评：本题是中档题，考查三角函数的化简求值，函数的周期的求法，函数在闭区间上的最值的求法，考查计算能力．
练习册系列答案
相关题目
已知f（x）是定义在R上的偶函数，且f(x-
3
2
)=f(x+
1
2
)恒成立，当x∈[2，3]时，f（x）=x，则当x∈（-1，0）时，函数f（x）的解析式为
f（x）=2-x
f（x）=2-x
．
已知f（x）=2sin（x+
π
6
）-
4
3
3
tanα•cos2
x
2
，α∈（0，π） 且f（
π
2
=
3
-2）．
（1）求α；
（2）当x∈[
π
2
，π]时，求函数y=f（x+α）的值域．
已知f（x）=ax+b的图象如图所示，则f（3）=
3
3
-3
3
3
-3
．
已知f（x）=2x2+3xf′（2），则f′（0）=
-12
-12
．
已知f（x）=cos（2x-
π
6
）+cos（2x-
5π
6
）-2cos2x+1，
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求函数f（x）在区间[-
π
4
，
π
4
 ]上的最大值和最小值．

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