Question

学校文艺队的每位队员唱歌、跳舞至少会一项，已知会唱歌的有3人，会跳舞的有5人．现从中选2人，其中至少有一人既会唱歌又会跳舞的概率为

3

5

．
（1）求文艺队的人数；
（2）（理科）设ξ为选出的2人中既会唱歌又会跳舞的人数，求Eξ．
（文科）若选出的2人一人唱歌，一人跳舞，求有多少种不同的选派方案？

Answer 1

（1）根据题意，设文艺队中既会唱歌又会跳舞的人数为x，
则只会唱歌的人数为3-x，只会跳舞的人数为5-x，总人数为8-x，
当x=1时，选出的2人中至少有1人既会唱歌又会跳舞的概率P=

C 16

C 27

=

2

7

，不合题意，
当2≤x≤3时，由选出的2人中至少有1人既会唱歌又会跳舞的概率P=

C 1x C 18-2x

C 28-x

+

C 2x

C 28-x

=

3

5

，
可解得x=2，
所以文艺队共有6人．
（2）（理）根据题意，ξ可取的值为0、1、2，
ξ=0，即选出的2人中没有既会唱歌又会跳舞的，则P(ξ=0)=

C 24

C 26

=

2

5

，
ξ=1，即选出的2人中有1人既会唱歌又会跳舞，则P(ξ=1)=

C 12 C 14

C 26

=

8

15

，
ξ=2，即选出的2人中都是既会唱歌又会跳舞的，则P(ξ=2)=

C 22

C 26

=

1

15

，
得Eξ=0×

2

5

+1×

8

15

+2×

1

15

=

2

3

；
（文）若从既会唱歌又会跳舞的队员中选出1名队员唱歌，则有C₂¹C₄¹=8种不同的选派方案，
若从只会唱歌的队员中选出1名队员唱歌，则有C₁¹C₅¹=5种不同的选派方案，
因此，共有8+5=13种不同的选派方案．